微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{- x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.3.1

移动 $e^{x}$ 。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

解题步骤 2.3.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

解题步骤 2.4

化简 $e^{0} x$ 。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

解题步骤 2.5

将 $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ 中的因式重新排序。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{- x} y = \int x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7

将 $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项除以 $e^{- x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 7.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 7.3.1.3

合并。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 7.3.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

微积分学 示例

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