微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

解题步骤 2.2

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

解题步骤 6.2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

解题步骤 6.3

化简。

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

解题步骤 7

将 $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.2

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.1

约去公因数。

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 8

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ 中求 $C$ 的值。

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

解题步骤 9

求解 $C$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ 。

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

解题步骤 9.2

化简 $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ 。

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解题步骤 9.2.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

解题步骤 9.2.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

解题步骤 9.2.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$- 1 + C = 3$

解题步骤 9.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$C = 3 + 1$

解题步骤 9.3.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$C = 4$

解题步骤 10

代入 $4$ 替换 $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 10.1

代入 $4$ 替换 $C$ 。

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$

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