微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$ , $y (1) = 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$y + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{3}{x} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{3}{x} + K$ 中求 $K$ 的值。

$2 = - \frac{3}{1} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{3}{1} + K = 2$ 。

$- \frac{3}{1} + K = 2$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- 1 \cdot 3 + K = 2$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 + K = 2$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$K = 2 + 3$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$K = 5$

解题步骤 5

代入 $5$ 替换 $y = - \frac{3}{x} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $5$ 替换 $K$ 。

$y = - \frac{3}{x} + 5$

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