微积分学示例

$(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x - 6 y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 6 y]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x - 6 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 6$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 6 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6$

解题步骤 1.4

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 5 x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 6$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $5$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 6 = 5$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 6 = 5$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 6$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 6 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $5$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 6 - 5}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $5 x$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $5 x$ 替换 $N$ 。

$\frac{- 6 - 5}{5 x}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 6$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 11}{5 x}$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{11}{5 x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{5 x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $\frac{11}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{11}{5}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.4

化简。

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1

乘以 $- \frac{11}{5} \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

将 $\ln (| x |)$ 和 $\frac{11}{5}$ 重新排序。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \ln (| x |))} + C$

解题步骤 5.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{11}{5} \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})} + C$

解题步骤 5.5.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.5.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1} + C$

解题步骤 5.5.4

将 ${({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11}{5} \cdot - 1} + C$

解题步骤 5.5.4.2

乘以 $\frac{11}{5} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.4.2.1

组合 $\frac{11}{5}$ 和 $- 1$ 。

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11 \cdot - 1}{5}} + C$

解题步骤 5.5.4.2.2

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 11}{5}} + C$

解题步骤 5.5.4.3

将负号移到分数的前面。

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{11}{5}} + C$

解题步骤 5.5.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{11}{5}}} + C$

解题步骤 6

在 $(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 6 y$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 。

$(x - 6 y) \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $x - 6 y$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $5 x$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

解题步骤 6.4

乘以 $5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 。

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解题步骤 6.4.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + x \frac{5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

解题步骤 6.4.2

组合 $x$ 和 $\frac{5}{x^{\frac{11}{5}}}$ 。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{x \cdot 5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

解题步骤 6.5

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{1}$ 移动到分母。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} d y = 0$

解题步骤 6.6

通过指数相加将 $x^{\frac{11}{5}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1}} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} d y = 0$

解题步骤 6.6.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

解题步骤 6.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

解题步骤 6.6.5

化简分子。

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解题步骤 6.6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} d y = 0$

解题步骤 6.6.5.2

从 $11$ 中减去 $5$ 。

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} y + C$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ 和 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $5 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$ 。

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ 。

$5 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{6}{5}}$ 。

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解题步骤 11.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{6}{5}}$ 。

$5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.3.3

使用 $x^{\frac{6}{5}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{6}{5}$ 。

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.5

将 ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 y (- x^{\frac{6}{5} \cdot - 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.5.2

乘以 $\frac{6}{5} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 11.3.5.2.1

组合 $\frac{6}{5}$ 和 $- 2$ 。

$5 y (- x^{\frac{6 \cdot - 2}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.5.2.2

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$5 y (- x^{\frac{- 12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.8

在公分母上合并分子。

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.9

化简分子。

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解题步骤 11.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.9.2

从 $6$ 中减去 $5$ 。

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.10

组合 $\frac{6}{5}$ 和 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.11

组合 $\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ 和 $x^{- \frac{12}{5}}$ 。

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{1}{5}} x^{- \frac{12}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.12

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{5}}$ 乘以 $x^{- \frac{12}{5}}$ 。

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解题步骤 11.3.12.1

移动 $x^{- \frac{12}{5}}$ 。

$5 y (- \frac{6 (x^{- \frac{12}{5}} x^{\frac{1}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{12}{5} + \frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.12.3

在公分母上合并分子。

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 12 + 1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.12.4

将 $- 12$ 和 $1$ 相加。

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.12.5

将负号移到分数的前面。

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{11}{5}}$ 移动到分母。

$5 y (- \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.14

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 y \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.15

组合 $- 5$ 和 $\frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ 。

$y \frac{- 5 \cdot 6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.16

将 $- 5$ 乘以 $6$ 。

$y \frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.17

组合 $y$ 和 $\frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ 。

$\frac{y \cdot - 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.18

将 $- 30$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{- 30 \cdot y}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.19

从 $- 30 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.20

约去公因数。

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解题步骤 11.3.20.1

从 $5 x^{\frac{11}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 6 y)}{5 (x^{\frac{11}{5}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.20.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.20.3

重写表达式。

$\frac{- 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.3.21

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

化简 $\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} - \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$ 。

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解题步骤 12.1.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - (x - 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x - (- 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x + 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

合并 $- 6 y - x + 6 y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1.3.1

将 $- 6 y$ 和 $6 y$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{1}$ 移动到分母。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

通过指数相加将 $x^{\frac{11}{5}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 12.1.1.4.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 12.1.1.4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2.5.2

从 $11$ 中减去 $5$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 13

求 $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

解题步骤 13.3

通过将 $x^{\frac{6}{5}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (x) = \int {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1} d x$

解题步骤 13.4

将 ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (x) = \int x^{\frac{6}{5} \cdot - 1} d x$

解题步骤 13.4.2

乘以 $\frac{6}{5} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 13.4.2.1

组合 $\frac{6}{5}$ 和 $- 1$ 。

$g (x) = \int x^{\frac{6 \cdot - 1}{5}} d x$

解题步骤 13.4.2.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = \int x^{\frac{- 6}{5}} d x$

解题步骤 13.4.3

将负号移到分数的前面。

$g (x) = \int x^{- \frac{6}{5}} d x$

解题步骤 13.5

根据幂法则， $x^{- \frac{6}{5}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ 。

$g (x) = - 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$

解题步骤 13.6

化简答案。

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解题步骤 13.6.1

将 $- 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$ 重写为 $- 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$ 。

$g (x) = - 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

解题步骤 13.6.2

化简。

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解题步骤 13.6.2.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$g (x) = \frac{- 5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

解题步骤 13.6.2.2

将负号移到分数的前面。

$g (x) = - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

微积分学 示例

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