微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y + y^{3}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y + y^{3}}$ 。

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

解题步骤 1.2

约去 $y + y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y + y^{3}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + y^{3}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.2.1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.2.1.1.1

从 $y + y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y^{1} + y^{3}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y \cdot 1 + y^{3}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.3

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.4

从 $y \cdot 1 + y \cdot y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y \cdot (1 + y^{2})}$

解题步骤 2.2.1.1.1.5

将 $y$ 乘以 $1 + y^{2}$ 。

$\frac{1}{y (1 + y^{2})}$

解题步骤 2.2.1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $y (1 + y^{2})$ 。

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.5

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.6.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.6.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.6.1.2

用 $A (1 + y^{2})$ 除以 $1$ 。

$1 = A (1 + y^{2}) + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.6.2

运用分配律。

$1 = A \cdot 1 + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.6.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.6.4

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.6.4.1

约去公因数。

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.1.6.4.2

用 $(B y + C) (y)$ 除以 $1$ 。

$1 = A + A y^{2} + (B y + C) (y)$

解题步骤 2.2.1.1.6.5

运用分配律。

$1 = A + A y^{2} + B y \cdot y + C y$

解题步骤 2.2.1.1.6.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.6.6.1

移动 $y$ 。

$1 = A + A y^{2} + B (y \cdot y) + C y$

解题步骤 2.2.1.1.6.6.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$1 = A + A y^{2} + B y^{2} + C y$

解题步骤 2.2.1.1.7

移动 $A$ 。

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y + A$

解题步骤 2.2.1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.2.1.2.1

使方程两边 $y^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2.1.2.2

使方程两边 $y$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 2.2.1.2.3

使方程两边不含 $y$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A$

解题步骤 2.2.1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

解题步骤 2.2.1.3

求解方程组。

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解题步骤 2.2.1.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

解题步骤 2.2.1.3.2

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

解题步骤 2.2.1.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.3.1

使用 $1$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 2.2.1.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.3.3.2.1

去掉圆括号。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 2.2.1.3.4

在 $0 = 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.4.1

将方程重写为 $1 + B = 0$ 。

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 2.2.1.3.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 2.2.1.3.5

求解方程组。

$B = - 1 A = 1 C = 0$

解题步骤 2.2.1.3.6

列出所有解。

$B = - 1, A = 1, C = 0$

解题步骤 2.2.1.4

将 $\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{1}{y} + \frac{- 1 y + 0}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.5

化简。

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解题步骤 2.2.1.5.1

去掉圆括号。

$\frac{1}{y} + \frac{(- 1) \cdot y + 0}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.5.2

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.5.2.1

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{1}{y} + \frac{- y + 0}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.5.2.2

将 $- y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{y} + \frac{- y}{1 + y^{2}}$

解题步骤 2.2.1.5.3

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{y} - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.5

使 $u = 1 + y^{2}$ 。然后使 $d u = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.5.1

设 $u = 1 + y^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $1 + y^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

解题步骤 2.2.5.1.2

根据加法法则， $1 + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.5.1.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.5.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 y$

解题步骤 2.2.5.1.5

将 $0$ 和 $2 y$ 相加。

$2 y$

解题步骤 2.2.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

解题步骤 2.2.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

解题步骤 2.2.9

化简。

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

解题步骤 2.2.10

使用 $1 + y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{3} = \int d x$

解题步骤 2.2.11

重新排序项。

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) = x + C$

微积分学 示例

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