微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = (1 + 2 x) \sqrt{y}$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 2 x) \sqrt{y})$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $(1 + 2 x) \sqrt{y}$ 中分解出因数 $\sqrt{y}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 2 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 2 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 2 x d x$

解题步骤 2.2.1.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

解题步骤 2.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

解题步骤 2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

约去公因数。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

重写表达式。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 1 x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{2} + x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ 重写为 $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ 。

$y = (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1

合并。

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4

合并。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.7

合并。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.9

合并。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x \cdot x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.10.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.10.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.12

乘以 $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.12.1

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.12.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.12.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.12.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.12.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.12.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.13

乘以 $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.13.1

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.13.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.14

合并。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.15

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.16

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.16.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.16.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.17

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.17.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.17.2

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.17.3

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.17.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.17.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.17.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

化简项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} K + x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2

将 $x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} K + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $x^{2} K$ 和 $K x^{2}$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

将 $x^{2}$ 和 $K$ 重新排序。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

将 $K x^{2}$ 和 $K x^{2}$ 相加。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + 2 K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5

将 $x K$ 和 $K x$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1

将 $x$ 和 $K$ 重新排序。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + K x + K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5.2

将 $K x$ 和 $K x$ 相加。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6

分解分数 $\frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$ 成为两个分数。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7

从 $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.7.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7.2

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7.3

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7.4

从 $2 K x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7.5

从 $2 K x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7.6

从 $x \cdot x^{3} + x (2 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7.7

从 $x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7.8

从 $x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7.9

从 $x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.4

化简 $\frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K + 2 K x + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.4.2

移动 $2 K$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K x + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.4.3

移动 $2 x^{2}$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 K x + 2 x^{2} + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ 中求 $K$ 的值。

$1 = \frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$ 。

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$

解题步骤 6.2

化简 $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $K \cdot 0$ 和 $K$ 相加。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0 \cdot K$ 和 $K$ 重新排序。

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K + 0 \cdot K)}{4} + K = 1$

解题步骤 6.2.2.2

将 $K$ 和 $0 \cdot K$ 相加。

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

解题步骤 6.2.3

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.1

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1

从 $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4} + K = 1$

解题步骤 6.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 (1)} + K = 1$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 \cdot 1} + K = 1$

解题步骤 6.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{1} + K = 1$

解题步骤 6.2.3.1.2.4

用 $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ 除以 $1$ 。

$0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

解题步骤 6.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 (0 + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

解题步骤 6.2.3.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 (0 + 2 \cdot 0 + K) + K = 1$

解题步骤 6.2.3.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 (0 + 0 + K) + K = 1$

解题步骤 6.2.3.3

合并 $0 + 0 + K$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.3.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 (0 + K) + K = 1$

解题步骤 6.2.3.3.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$0 K + K = 1$

解题步骤 6.2.3.4

将 $0$ 乘以 $K$ 。

$0 + K = 1$

解题步骤 6.2.4

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 1$

解题步骤 7

代入 $1$ 替换 $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $1$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 1 x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

解题步骤 7.2

将 $1 x$ 和 $x$ 相加。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K$

解题步骤 7.3

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.4

组合 $K$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x) + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6

化简分子。

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解题步骤 7.6.1

运用分配律。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.2

化简。

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解题步骤 7.6.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.6.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.6.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{1} x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{1 + 3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.2.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$y = \frac{x^{4} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.3

化简每一项。

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解题步骤 7.6.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.6.3.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.3.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.6.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2 + 1} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.3.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.6.3.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 (x \cdot x) + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + K \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.6.4

将 $4$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + 4 K}{4}$

微积分学 示例

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