微积分学示例

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

解题步骤 1

设 $V = \frac{x}{y}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d x}{d y} = - V$

解题步骤 2

求解 $x$ 的 $V = \frac{x}{y}$ 。

$x = V y$

解题步骤 3

使用乘积法则求 $x = V y$ 对 $y$ 的导数。

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

解题步骤 4

代入 $y \frac{d V}{d y} + V$ 替换 $\frac{d x}{d y}$ 。

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

解题步骤 5

求解代入的微分方程。

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解题步骤 5.1

分离变量。

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解题步骤 5.1.1

求解 $\frac{d V}{d y}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

解题步骤 5.1.1.1.2

从 $- V$ 中减去 $V$ 。

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

解题步骤 5.1.1.2

将 $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

解题步骤 5.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

解题步骤 5.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d y}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

解题步骤 5.1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

解题步骤 5.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{V}$ 。

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

解题步骤 5.1.3.2

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.2.1

将 $- \frac{1}{V}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

解题步骤 5.1.3.2.2

从 $2 V$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

解题步骤 5.1.3.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

解题步骤 5.1.3.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

解题步骤 5.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

解题步骤 5.2

对两边积分。

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解题步骤 5.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

解题步骤 5.2.2

$\frac{1}{V}$ 对 $V$ 的积分为 $\ln (| V |)$ 。

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

解题步骤 5.2.3

对右边积分。

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解题步骤 5.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

解题步骤 5.2.3.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

解题步骤 5.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 5.2.3.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

解题步骤 5.2.3.5

化简。

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

解题步骤 5.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

解题步骤 5.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 5.3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简 $\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

解题步骤 5.3.2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| V | y^{2}) = C$

解题步骤 5.3.2.1.3

将 $\ln (| V | y^{2})$ 中的因式重新排序。

$\ln (y^{2} | V |) = C$

解题步骤 5.3.3

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

解题步骤 5.3.4

使用对数的定义将 $\ln (y^{2} | V |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = y^{2} | V |$

解题步骤 5.3.5

求解 $V$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

将方程重写为 $y^{2} | V | = e^{C}$ 。

$y^{2} | V | = e^{C}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $y^{2} | V | = e^{C}$ 中的每一项除以 $y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.3.5.2.1

将 $y^{2} | V | = e^{C}$ 中的每一项都除以 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.5.2.2.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.5.2.2.1.2

用 $| V |$ 除以 $1$ 。

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.5.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

解题步骤 5.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 5.4.1

化简积分常数。

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

解题步骤 5.4.2

用加号或减号合并常数。

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 6

代入 $\frac{x}{y}$ 替换 $V$ 。

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 7

求解 $x$ 的 $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 7.1

两边同时乘以 $y$ 。

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $C (\frac{1}{y^{2}}) y$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

组合 $C$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

解题步骤 7.2.2.1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

解题步骤 7.2.2.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{C}{y}$

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