微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = (t + 1) \sin^{2} (2 t)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t + 1$ ， $d v = \sin^{2} (2 t)$ 。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

解题步骤 2.3.5

由于 $- \frac{1}{8}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{8}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (4 t) d t)$

解题步骤 2.3.6

使 $u = 4 t$ 。然后使 $d u = 4 d t$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.6.1

设 $u = 4 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.6.1.1

对 $4 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [4 t]$

解题步骤 2.3.6.1.2

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$4 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.3.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.6.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.3.6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

解题步骤 2.3.7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t$ 。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 2.3.8.2

组合 $\sin (4 t)$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 2.3.9

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{3})))$

解题步骤 2.3.10

化简。

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解题步骤 2.3.10.1

化简。

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解题步骤 2.3.10.1.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C_{3}))$

解题步骤 2.3.10.1.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

解题步骤 2.3.10.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

解题步骤 2.3.10.2

化简。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3

化简。

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解题步骤 2.3.10.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{t^{2}}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{32}) \cos (u)) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3.4

将 $\frac{1}{32}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{32} \cos (u)) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3.5

组合 $\frac{1}{32}$ 和 $\cos (u)$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3.6

要将 $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3.7

组合 $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3.8

在公分母上合并分子。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.3.9

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.11

使用 $4 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (4 t)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.12

化简。

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解题步骤 2.3.12.1

运用分配律。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.12.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.12.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 (- 2) \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.12.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 \cdot - 2 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.12.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.12.3

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.12.3.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 (- 1) \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.12.3.2

从 $32$ 中分解出因数 $8$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.12.3.3

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.12.3.4

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13

化简。

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解题步骤 2.3.13.1

从 $- \sin (4 t) t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.2

从 $- 2 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.3

从 $- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.4

从 $- \frac{\cos (4 t)}{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.5

从 $- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.6

将 $- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ 重写为 $- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ 。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.7

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.8

将 $- \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8}$ 中的因式重新排序。

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.9

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + K$

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