微积分学示例

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ 中的每一项除以 $e^{5 x}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ 中的每一项都除以 $e^{5 x}$ 。

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $e^{5 x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{5 x}}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{7}{e^{5 x}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{5 x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{1} = 7 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 ${(e^{5 x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{- 5 x} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $e^{- 5 x}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = 7 \int e^{- 5 x} d x$

解题步骤 2.3.3

使 $u = - 5 x$ 。然后使 $d u = - 5 d x$ ，以便 $- \frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.3.1

设 $u = - 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $- 5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.3.3.1.2

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 5$

解题步骤 2.3.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

解题步骤 2.3.4.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$y + C_{1} = 7 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 2.3.5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 7 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 2.3.7

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - 7 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 7$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 7}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.8.2

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.10

化简。

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.11

使用 $- 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + K$

微积分学 示例

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