微积分学示例

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

解题步骤 2.2

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $6 x^{2} + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $12 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $12 x$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x = 12 x$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 x = 12 x$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $12 x$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $2 x$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $2 x y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $2 x y$ 替换 $M$ 。

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $12 x - 1 \cdot 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

解题步骤 5.3.2.1.2

从 $- 1 \cdot 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

解题步骤 5.3.2.1.3

从 $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

解题步骤 5.3.2.3

从 $12$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

解题步骤 5.3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

解题步骤 5.3.3.2

重写表达式。

$\frac{10}{2 y}$

解题步骤 5.3.4

代入 $2 x y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

解题步骤 5.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

解题步骤 5.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{y}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 6.3

化简。

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

解题步骤 6.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

解题步骤 7

在 $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $y^{5}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 x y$ 乘以 $y^{5}$ 。

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

解题步骤 7.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{5}$ 。

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解题步骤 7.2.1

移动 $y^{5}$ 。

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

解题步骤 7.2.2

将 $y^{5}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

解题步骤 7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

解题步骤 7.2.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $6 x^{2} + y^{3}$ 乘以 $y^{5}$ 。

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

解题步骤 7.5

通过指数相加将 $y^{3}$ 乘以 $y^{5}$ 。

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解题步骤 7.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

解题步骤 7.5.2

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = 2 x y^{6}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $2 y^{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 y^{6}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

解题步骤 9.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9.3

化简答案。

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解题步骤 9.3.1

将 $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2

化简。

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解题步骤 9.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.2

组合 $y^{6}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.3

将 $2$ 移到 $y^{6}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.4

将 $2$ 乘以 $y^{6}$ 。

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.5.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.5.2

用 $y^{6}$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $y^{6} x^{2} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{6} x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ 。

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

解题步骤 12.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

解题步骤 12.3.3

将 $6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

解题步骤 12.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $6 y^{5} x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

解题步骤 13.1.2

合并 $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.2.1

按照 $6 x^{2} y^{5}$ 和 $- 6 y^{5} x^{2}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

解题步骤 13.1.2.2

从 $6 y^{5} x^{2}$ 中减去 $6 y^{5} x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

解题步骤 13.1.2.3

将 $y^{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

解题步骤 14

求 $y^{8}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int y^{8} d y$

解题步骤 14.3

根据幂法则， $y^{8}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{9} y^{9}$ 。

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

解题步骤 16

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $y^{9}$ 。

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$

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