微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{y}{y^{2}}$ 。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

合并。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} y}$

解题步骤 1.2.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{2}}{y^{2} y}$

解题步骤 1.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 2}}{y^{2} y}$

解题步骤 1.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y}$

解题步骤 1.2.3

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y^{1}}$

解题步骤 1.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2 + 1}}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

解题步骤 1.2.4

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1

约去公因数。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

解题步骤 1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{y}{y^{2}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y^{1}}{y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int \frac{y \cdot 1}{y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3.2

约去公因数。

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{y} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{x + C}$ 。

$| y | = e^{x + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{x + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{x + C}$ 重写为 $e^{x} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{x} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{x}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{x}$

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