微积分学示例

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y (2 x - y)$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = 2 x - y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $2 x - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.6.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.6.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

解题步骤 1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.3.8.1

将 $2 x - y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

解题步骤 1.3.8.2

从 $- y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x^{2} + y^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.5

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 x - 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 2 x$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x - 2 y = - 2 x$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 x - 2 y = - 2 x$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 2 x$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $2 x - 2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $y (2 x - y)$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $y (2 x - y)$ 替换 $M$ 。

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $- 4 x + 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.2.5.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.2.5.3

从 $2 (- 2 x) + 2 (y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.3

约去 $- 2 x + y$ 和 $2 x - y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $- (2 x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.3.4

将 $- (2 x - y)$ 重写为 $- 1 (2 x - y)$ 。

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.3.5

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

解题步骤 4.3.3.6

重写表达式。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

解题步骤 4.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{y}$

解题步骤 4.3.5

代入 $y (2 x - y)$ 替换 $M$ 。

$- \frac{2}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| y |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

解题步骤 6

在 $y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y (2 x - y)$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

解题步骤 6.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $2 x - y$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7

将 $- x^{2} - y^{2} - 1$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.8

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.9

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.10

从 $- (x^{2}) - (y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.11

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.12

从 $- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.13

将 $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ 。

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将分数分解成多个分数。

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

解题步骤 8.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

解题步骤 8.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

约去公因数。

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

解题步骤 8.3.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 8.4

由于 $\frac{2}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{y}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 8.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

解题步骤 8.6

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

解题步骤 8.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

解题步骤 8.8

化简。

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

解题步骤 8.9

化简。

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解题步骤 8.9.1

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

解题步骤 8.9.2

将 $2$ 乘以 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

解题步骤 8.9.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.9.3.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

解题步骤 8.9.3.2

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{y}$ 对 $y$ 的导数是 $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.4

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.6

化简。

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解题步骤 11.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.6.2

合并项。

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解题步骤 11.6.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.6.2.2

将 $- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 11.6.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

在等式两边都加上 $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

将 $0$ 和 $y^{2}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

要将 $\frac{d g}{d y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.2

将分子设为等于零。

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

解题步骤 12.1.3

求解 $\frac{d g}{d y}$ 的方程。

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解题步骤 12.1.3.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.3.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

解题步骤 12.1.3.1.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

解题步骤 12.1.3.2

将 $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ 中的每一项除以 $y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 12.1.3.2.1

将 $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ 中的每一项都除以 $y^{2}$ 。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.1.3.2.2.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.2.1.2

用 $\frac{d g}{d y}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 12.1.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.3.2.3.1.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.3.2.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.3.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 13

求 $- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

解题步骤 13.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

解题步骤 13.4

应用常数不变法则。

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

解题步骤 13.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

解题步骤 13.6

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

解题步骤 13.7

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

解题步骤 13.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

解题步骤 13.8

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

解题步骤 13.9

化简。

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

解题步骤 13.10

化简。

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解题步骤 13.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

解题步骤 13.10.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$

微积分学 示例

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