微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} y - 4 x^{3} y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $5 x^{4} y - 4 x^{3} y$ 中分解出因数 $x^{3} y$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $5 x^{4} y$ 中分解出因数 $x^{3} y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) - 4 x^{3} y$

解题步骤 1.1.2

从 $- 4 x^{3} y$ 中分解出因数 $x^{3} y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$ 中分解出因数 $x^{3} y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x - 4)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x^{3} y (5 x - 4))$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $x^{3} y (5 x - 4)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

解题步骤 1.3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

解题步骤 1.3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x - 4)$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.3.4

将 $- 4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x - 4 \cdot x^{3}$

解题步骤 1.3.5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x \cdot x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x^{1} x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

解题步骤 1.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{1 + 3} - 4 \cdot x^{3}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 \cdot x^{3}$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = (5 x^{4} - 4 x^{3}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.1

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.3

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 4}{4} x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.5

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.5.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.5.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 1}{1} x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.5.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - x^{4} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x^{5} - x^{4} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$ 。

$| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{x^{5} - x^{4} + C}$ 重写为 $e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{x^{5} - x^{4}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{x^{5} - x^{4}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{x^{5} - x^{4}}$

微积分学 示例

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