微积分学示例

$x \sqrt{y^{2} - 2} d x + y \sqrt{x^{2} - 2} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x \sqrt{y^{2} - 2} d x$ 。

$y \sqrt{x^{2} - 2} d y = - x \sqrt{y^{2} - 2} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.2

对 $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.3

对 $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} {\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1 + 1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.6

将 ${\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 重写成 ${((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{({((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.2.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.3

乘以 $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (y \sqrt{x^{2} - 2})$ 。

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解题步骤 3.3.1

组合 $y$ 和 $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 。

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{x^{2} - 2} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 和 $\sqrt{x^{2} - 2}$ 。

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{x^{2} - 2}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.3.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.3.4

对 $x^{2} - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1} (x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.3.5

对 $x^{2} - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1} {(x^{2} - 2)}^{1} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{2} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

从根式下提出各项。

$\frac{y ((x^{2} - 2) \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$\frac{y (x^{2} \sqrt{y^{2} - 2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.4.3

从 $x^{2} \sqrt{y^{2} - 2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2}$ 中分解出因数 $\sqrt{y^{2} - 2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $x^{2} \sqrt{y^{2} - 2}$ 中分解出因数 $\sqrt{y^{2} - 2}$ 。

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- 2 \sqrt{y^{2} - 2}$ 中分解出因数 $\sqrt{y^{2} - 2}$ 。

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} + \sqrt{y^{2} - 2} \cdot - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} + \sqrt{y^{2} - 2} \cdot - 2$ 中分解出因数 $\sqrt{y^{2} - 2}$ 。

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2))}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.5

约去 $x^{2} - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

约去公因数。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.5.2

重写表达式。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.7

将 $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - (\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}) (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8

合并和化简分母。

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解题步骤 3.8.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.2

对 $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.3

对 $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} {\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.6

将 ${\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)$ 。

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解题步骤 3.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 重写成 ${((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{({((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.6.4.1

约去公因数。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.6.4.2

重写表达式。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.8.6.5

化简。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

解题步骤 3.9

乘以 $- \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (x \sqrt{y^{2} - 2})$ 。

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解题步骤 3.9.1

组合 $x$ 和 $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{y^{2} - 2} d x$

解题步骤 3.9.2

组合 $\sqrt{y^{2} - 2}$ 和 $\frac{x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{y^{2} - 2} (x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.9.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{(y^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.9.4

对 $y^{2} - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1} (y^{2} - 2) (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.9.5

对 $y^{2} - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1} {(y^{2} - 2)}^{1} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.9.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.9.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{2} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

从根式下提出各项。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x ((y^{2} - 2) \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.10.2

运用分配律。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (y^{2} \sqrt{x^{2} - 2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.10.3

从 $y^{2} \sqrt{x^{2} - 2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2}$ 中分解出因数 $\sqrt{x^{2} - 2}$ 。

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解题步骤 3.10.3.1

从 $y^{2} \sqrt{x^{2} - 2}$ 中分解出因数 $\sqrt{x^{2} - 2}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.10.3.2

从 $- 2 \sqrt{x^{2} - 2}$ 中分解出因数 $\sqrt{x^{2} - 2}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} + \sqrt{x^{2} - 2} \cdot - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.10.3.3

从 $\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} + \sqrt{x^{2} - 2} \cdot - 2$ 中分解出因数 $\sqrt{x^{2} - 2}$ 。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2))}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.11

约去 $y^{2} - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.1

约去公因数。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

解题步骤 3.11.2

重写表达式。

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u_{1} = y^{2} - 2$ 。然后使 $d u_{1} = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u_{1} = y^{2} - 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $y^{2} - 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

解题步骤 4.2.1.1.2

根据加法法则， $y^{2} - 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 4.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 4.2.1.1.4

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$2 y + 0$

解题步骤 4.2.1.1.5

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 y$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.2

化简。

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解题步骤 4.2.4.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.2.2

通过指数相加将 $u_{1}$ 乘以 ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.2.1

将 $u_{1}$ 乘以 ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.2.1.1

对 $u_{1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.4.3.1

通过将 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.3.2

将 ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.4.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.4.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.5

根据幂法则， ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.6

化简。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.6.2

化简。

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解题步骤 4.2.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.6.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.6.2.2.2

重写表达式。

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.6.2.3

将 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.7

使用 $y^{2} - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u_{2} = x^{2} - 2$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u_{2} = x^{2} - 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $x^{2} - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

解题步骤 4.3.2.1.2

根据加法法则， $x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.3.2.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 4.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.2

化简。

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解题步骤 4.3.5.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.2.2

通过指数相加将 $u_{2}$ 乘以 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.5.2.2.1

将 $u_{2}$ 乘以 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.5.2.2.1.1

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.2.2.3

在公分母上合并分子。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.5.3.1

通过将 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.2

将 ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.2.3

将负号移到分数的前面。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.6

根据幂法则， ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2

化简。

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解题步骤 4.3.7.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3.2.2

约去公因数。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3.2.3

重写表达式。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.8

使用 $x^{2} - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} = - {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + K$

微积分学 示例

微积分学示例