微积分学示例

Solve the equation $\frac{d y}{d x} = 2 y \cos (x)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y \cos (x))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y \cos (x))$

解题步骤 1.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \cos (x))$

解题步骤 1.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $y \cos (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (\cos (x)))$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\sin (x) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \sin (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = 2 \sin (x) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 \sin (x) + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = 2 \sin (x) + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2 \sin (x) + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{2 \sin (x) + C}$ 。

$| y | = e^{2 \sin (x) + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{2 \sin (x) + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{2 \sin (x) + C}$ 重写为 $e^{2 \sin (x)} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{2 \sin (x)} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{2 \sin (x)}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{2 \sin (x)}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{2 \sin (x)}$

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