微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y \sqrt{1 + y^{2}}$ 。

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

解题步骤 1.2

约去 $y \sqrt{1 + y^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t \cdot e^{t}$

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y \sqrt{1 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y \sqrt{1 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 1 + y^{2}$ 。然后使 $d u = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 1 + y^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $1 + y^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $1 + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $2 y$ 相加。

$2 y$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

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解题步骤 2.2.6.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.6.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.6.2.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.6.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.6.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.2.7

使用 $1 + y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = e^{t}$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

解题步骤 2.3.2

$e^{t}$ 对 $t$ 的积分为 $e^{t}$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4

重新排序项。

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$

微积分学 示例

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