微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

$y + C_{1} = \int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

解题步骤 2.3.1.2

乘以 $\csc (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

解题步骤 2.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

解题步骤 2.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

解题步骤 2.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) - \csc (x) \cot (x) d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

解题步骤 2.3.3

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - \int \csc (x) \cot (x) d x$

解题步骤 2.3.5

因为 $- \csc (x)$ 的导数为 $\csc (x) \cot (x)$ ，所以 $\csc (x) \cot (x)$ 的积分为 $- \csc (x)$ 。

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - (- \csc (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$y + C_{1} = - \cot (x) + \csc (x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \cot (x) + \csc (x) + K$

微积分学 示例

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