微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{2} + 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (8 x^{2} + 5) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 8 x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 8 x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 8 x^{2} d x + \int 5 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 8 \int x^{2} d x + \int 5 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 5 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$y + C_{1} = \frac{8 x^{3}}{3} + 5 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.3

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + 5 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{8}{3} x^{3} + 5 x + K$

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