微积分学示例

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

解题步骤 1.1.2

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3

求解 $\frac{d y}{d x}$ 的方程。

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解题步骤 1.1.3.1

化简。

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解题步骤 1.1.3.1.1

去掉圆括号。

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.1.2

将 $y^{2} - 2$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

解题步骤 1.1.3.2

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ 中的每一项除以 $x^{2} \cdot 2 y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.3.2.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ 中的每一项都除以 $x^{2} \cdot 2 y$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.2.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.3.1.1

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.3.1.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.3.1.1.2.1

从 $x^{2} \cdot 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.3.1.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.3.1.3.2.1

从 $x^{2} \cdot 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

解题步骤 1.1.3.2.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

要将 $\frac{y}{2 x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

解题步骤 1.2.2

要将 $- \frac{1}{x^{2} y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 y x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{y}{2 x^{2}}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\frac{1}{x^{2} y}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.3

重新排序 $x^{2} y \cdot 2$ 的因式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.2.5

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ 。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

约去 $2 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $2 y x^{2}$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.3

约去 $y^{2} - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = y^{2} - 2$ 。然后使 $d u = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = y^{2} - 2$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $y^{2} - 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

解题步骤 2.2.2.1.2

根据加法法则， $y^{2} - 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$2 y + 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 y$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5.3

将 $\int \frac{1}{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $y^{2} - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

将 $- x^{- 1} + C_{2}$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C_{2}$ 。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ 。

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

解题步骤 3.3.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

解题步骤 3.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- \frac{1}{x} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ 。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{1}{x}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

微积分学 示例

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