微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x + 1}{y - 5}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y - 5$ 。

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{7 x + 1}{y - 5}$

解题步骤 1.2

约去 $y - 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{7 x + 1}{y - 5}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 7 x + 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y - 5) d y = (7 x + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y - 5 d y = \int 7 x + 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 7 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 7 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 7 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 7 x + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 7 x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 7 \int x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 7 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{7 x^{2}}{2} + x + C_{6}$

解题步骤 2.3.5.3

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{7}{2} x^{2} + x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{7}{2} x^{2} + x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{7}{2} x^{2} + x + K$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{7 x^{2}}{2} + x + K$

解题步骤 3.3

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{7 x^{2}}{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{7 x^{2}}{2} = x + K$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{7 x^{2}}{2} - x = K$

解题步骤 3.3.3

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{7 x^{2}}{2} - x - K = 0$

解题步骤 3.4

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2

化简。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将 $- \frac{7 x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 7 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.3.2

约去公因数。

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 7 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.3.3

重写表达式。

$y^{2} - 10 y - 7 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 10 y - 7 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 10 y - 7 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

解题步骤 3.4.3

移动 $- 10 y$ 。

$y^{2} - 7 x^{2} - 2 x - 2 K - 10 y = 0$

解题步骤 3.4.4

移动 $- 2 x$ 。

$y^{2} - 7 x^{2} - 2 K - 2 x - 10 y = 0$

解题步骤 3.4.5

将 $y^{2}$ 和 $- 7 x^{2}$ 重新排序。

$- 7 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 10 y = 0$

解题步骤 3.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.6

将 $a = 1$ 、 $b = - 10$ 和 $c = - 7 x^{2} - 2 K - 2 x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 7 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 7 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 7 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 7 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4

化简。

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解题步骤 3.7.1.4.1

将 $- 7$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 28 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 28 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4.3

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 28 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5

从 $100 + 28 x^{2} + 8 K + 8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.7.1.5.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 28 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.2

从 $28 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (7 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.3

从 $8 K$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (7 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.4

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (7 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.5

从 $4 (25) + 4 (7 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 7 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.6

从 $4 (25 + 7 x^{2}) + 4 (2 K)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 7 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.7

从 $4 (25 + 7 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6

将 $4 (25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x)$ 重写为 $2^{2} (5^{2} + 7 x^{2} + 2 K + 2 x)$ 。

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解题步骤 3.7.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 7 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.8

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ 。

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}$

解题步骤 3.8

最终答案为两个解的组合。

$y = 5 + \sqrt{25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 7 x^{2} + 2 K + 2 x}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = 5 + \sqrt{25 + 7 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 7 x^{2} + K + 2 x}$

微积分学 示例

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