微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + x}{x^{2} y + y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $x y + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x}{x^{2} y + y}$

解题步骤 1.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x^{1}}{x^{2} y + y}$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x \cdot 1}{x^{2} y + y}$

解题步骤 1.1.4

从 $x (y) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{x^{2} y + y}$

解题步骤 1.2

从 $x^{2} y + y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y}$

解题步骤 1.2.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y^{1}}$

解题步骤 1.2.3

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4

从 $y x^{2} + y \cdot 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{y}{y + 1}$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ 乘以 $\frac{y + 1}{y}$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(x^{2} + 1) y}$

解题步骤 1.5.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $(x^{2} + 1) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.3

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

从 $x (y + 1)$ 中分解出因数 $y + 1$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.3.2

约去公因数。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.3.3

重写表达式。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

用 $y$ 除以 $y + 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y$

$0$

解题步骤 2.2.1.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

解题步骤 2.2.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

解题步骤 2.2.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + 1$ 中的所有符号

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

解题步骤 2.2.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

解题步骤 2.2.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.5

使 $u_{1} = y + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.5.1

设 $u_{1} = y + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.5.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.5.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.8

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

微积分学 示例

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