微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

分解分数 $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

解题步骤 1.2

假设 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

解题步骤 1.3

把 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 和 $\sqrt{x^{2}}$ 组合为一个单根式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4

拆分 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 1.4.1

分解分数 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.5

将 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并 $V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $0$ 和 $\sqrt{1 + V^{2}}$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

合并。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $\sqrt{1 + V^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

解题步骤 6.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

使 $V = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d V = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

化简项。

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解题步骤 6.2.2.2.1

化简 $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

重新整理项。

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.2

约去 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.2.1

从 $\sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.2.3

重写表达式。

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

使用 $\arctan (V)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 8.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{y}{x})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{y}{x})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{y}{x})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ 为 $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.2

对 $\frac{y}{x}$ 运用乘积法则。

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.4

在公分母上合并分子。

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.5

将 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ 。

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解题步骤 8.3.5.1

从 $x^{2} + y^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.5.2

从 $x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.6

从根式下提出各项。

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.7

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.8

正切和余切互为反函数。

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

解题步骤 8.3.9

在公分母上合并分子。

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$

微积分学 示例

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