微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $12 y^{2} + 2$ 。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

从 $12 y^{2} + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $12 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2 (1)}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

解题步骤 1.2.2

将 $12 y^{2} + 2$ 乘以 $\frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$ 。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{12 y^{2} + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

解题步骤 1.2.3

约去 $12 y^{2} + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $12 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2 \cdot 1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

解题步骤 1.2.3.3

从 $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

解题步骤 1.2.3.4

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.4.1

约去公因数。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

解题步骤 1.2.3.4.2

重写表达式。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.4

约去 $6 y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1

约去公因数。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.4.2

重写表达式。

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(12 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 12 y^{2} + 2 d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 12 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $12$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$12 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

解题步骤 2.2.5.2

化简。

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$4 y^{3} + 2 y = x + K$

微积分学 示例

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