微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = x^{5} - 5$ 。然后使 $d u = 5 x^{4} d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = x^{5} - 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x^{5} - 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x^{5} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 x^{4} + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $5 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$5 x^{4}$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $u^{2}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $x^{5} - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $5$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ 中求 $K$ 的值。

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ 。

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

解题步骤 4.2.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

解题步骤 4.2.3

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{1}{15}$ 和 $- 64$ 。

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

解题步骤 4.2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{64}{15} + K = 5$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $\frac{64}{15}$ 。

$K = 5 + \frac{64}{15}$

解题步骤 4.3.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

解题步骤 4.3.3

组合 $5$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $5$ 乘以 $15$ 。

$K = \frac{75 + 64}{15}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $75$ 和 $64$ 相加。

$K = \frac{139}{15}$

解题步骤 5

代入 $\frac{139}{15}$ 替换 $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{139}{15}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

使用二项式定理。

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

将 ${(x^{5})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.2.2

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.2.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.2.4

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.2.6

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4

化简。

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解题步骤 5.2.4.1

组合 $\frac{1}{15}$ 和 $x^{15}$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.2

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

从 $- 15 x^{10}$ 中分解出因数 $15$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

从 $75 x^{5}$ 中分解出因数 $15$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.3.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.3.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.4.2

从 $- 125$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.4.3

约去公因数。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.4.4

重写表达式。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.4.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 25$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.2.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.3

要将 $- \frac{25}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{25}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.4.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

将 $- 25$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

解题步骤 5.6.2

将 $- 125$ 和 $139$ 相加。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$

微积分学 示例

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