微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- y}}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

解题步骤 1.2

约去 $e^{- y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{- y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{- y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

解题步骤 4

使用初始条件，通过将 $5$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

解题步骤 5

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ 。

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

解题步骤 5.2

要求解 $K$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

解题步骤 5.3

使用对数的定义将 $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

解题步骤 5.4

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.4.1

将方程重写为 $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ 。

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

解题步骤 5.4.2

化简 $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$25 - 20 + K = e^{0}$

解题步骤 5.4.2.2

从 $25$ 中减去 $20$ 。

$5 + K = e^{0}$

解题步骤 5.4.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$5 + K = 1$

解题步骤 5.4.4

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.4.4.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$K = 1 - 5$

解题步骤 5.4.4.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$K = - 4$

解题步骤 6

代入 $- 4$ 替换 $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 6.1

代入 $- 4$ 替换 $K$ 。

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$

微积分学 示例

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