微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 7 y = 11 x$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 7$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 7 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{7 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{7 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{7 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{7 x}$ 。

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (11 x)$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (11 x)$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$

解题步骤 2.4

将 $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = 11 x e^{7 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = 11 x e^{7 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int 11 x e^{7 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{7 x} y = \int 11 x e^{7 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11$ 移到积分外。

$e^{7 x} y = 11 \int x e^{7 x} d x$

解题步骤 6.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{7 x}$ 。

$e^{7 x} y = 11 (x (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $e^{7 x}$ 。

$e^{7 x} y = 11 (x \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

解题步骤 6.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{7 x}}{7}$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

解题步骤 6.3.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $e^{7 x}$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} d x)$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int e^{7 x} d x))$

解题步骤 6.5

使 $u = 7 x$ 。然后使 $d u = 7 d x$ ，以便 $\frac{1}{7} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.5.1

设 $u = 7 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

对 $7 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 6.5.1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \cdot 1$

解题步骤 6.5.1.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7$

解题步骤 6.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{7} d u)$

解题步骤 6.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

解题步骤 6.7

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

解题步骤 6.8

化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.8.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$

解题步骤 6.10

将 $11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$ 重写为 $11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$

解题步骤 6.11

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{7 x}) + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $e^{7 x}$ 和 $\frac{1}{49}$ 。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

解题步骤 7.1.2

去掉圆括号。

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

解题步骤 7.2

将 $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ 中的每一项除以 $e^{7 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ 中的每一项都除以 $e^{7 x}$ 。

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $e^{7 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

从 $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}$ 中分解出因数 $e^{7 x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

从 $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x}$ 中分解出因数 $e^{7 x}$ 。

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

从 $- \frac{e^{7 x}}{49}$ 中分解出因数 $e^{7 x}$ 。

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.3

从 $e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49})$ 中分解出因数 $e^{7 x}$ 。

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x - \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.3

要将 $\frac{x}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $49$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.1.1.4.1

将 $\frac{x}{7}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.4.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{49} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{x \cdot 7 - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.6

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{7 x - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.7

合并指数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.7.1

组合 $\frac{7 x - 1}{49}$ 和 $11$ 。

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49} e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.7.2

组合 $\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49}$ 和 $e^{7 x}$ 。

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11 e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.8

将 $11$ 移到 $7 x - 1$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.3

合并。

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.4

约去 $e^{7 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.4.1

约去公因数。

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.4.2

重写表达式。

$y = \frac{11 (7 x - 1) \cdot 1}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.2

要将 $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ 。

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.3

要将 $\frac{C}{e^{7 x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{49}{49}$ 。

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

解题步骤 7.2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $49 e^{7 x}$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.4.1

将 $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ 乘以 $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ 。

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

解题步骤 7.2.3.4.2

将 $\frac{C}{e^{7 x}}$ 乘以 $\frac{49}{49}$ 。

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{e^{7 x} \cdot 49}$

解题步骤 7.2.3.4.3

重新排序 $e^{7 x} \cdot 49$ 的因式。

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.6.1

运用分配律。

$y = \frac{(11 (7 x) + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2

将 $7$ 乘以 $11$ 。

$y = \frac{(77 x + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.3

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{(77 x - 11) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4

运用分配律。

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.5

将 $49$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + 49 C}{49 e^{7 x}}$

微积分学 示例

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