微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.2

约去 ${(2 + y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x - 1}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 2 + y$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 2 + y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $2 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $2 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.2.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2.2.4

将 $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2.2.5

使用 $2 + y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = 2 x - 1$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{2 + y} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)$ 。

$- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 + y, 1, 1$

解题步骤 3.2.2

去掉圆括号。

$2 + y, 1, 1$

解题步骤 3.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 + y$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 中的每一项乘以 $2 + y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 中的每一项乘以 $2 + y$ 。

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2 + y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- \frac{1}{2 + y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

运用分配律。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.3.1.2

乘以 $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

将 $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 和 $2$ 重新排序。

$- 1 = 2 \cdot \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \cdot \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$- 1 = \ln ({({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.3.1.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1

将 ${({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1.2.1

约去公因数。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.2.2

重写表达式。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{1}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.3.1.3.2

化简。

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

解题步骤 3.3.3.1.4

运用分配律。

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C \cdot 2 + C y$

解题步骤 3.3.3.1.5

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + 2 C + C y$

解题步骤 3.3.3.2

将 $\ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + 2 C + C y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y = - 1$ 。

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y = - 1$

解题步骤 3.4.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - 2 C - C y - 1$

解题步骤 3.4.3

在等式两边都加上 $C y$ 。

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 2 C - 1$

解题步骤 3.4.4

从等式两边同时减去 $\ln (| 2 x - 1 |)$ 。

$y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

解题步骤 3.4.5

从 $y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

从 $C y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + y C = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

解题步骤 3.4.5.2

从 $y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + y C$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

解题步骤 3.4.6

将 $y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$ 中的每一项除以 $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 并化简。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$ 中的每一项都除以 $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 。

$\frac{y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.6.2.1

约去 $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.6.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 3.4.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.6.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{\ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.2

化简项。

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解题步骤 3.4.6.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 2 C - 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{\ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.2.3

从 $- 2 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 C) - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.2.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y = \frac{- (2 C) - 1 (1) - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.2.5

从 $- (2 C) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 C + 1) - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.2.6

从 $- (2 C + 1) - \ln (| 2 x - 1 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.2.7

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.3.2.7.1

将 $- (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))$ 重写为 $- 1 (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))$ 。

$y = \frac{- 1 (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 3.4.6.3.2.7.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{C + \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

微积分学 示例

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