微积分学示例

$\frac{d v}{d t} + 3 v = 0$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 3$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 3 d t}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{3 t + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{3 t}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{3 t}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{3 t}$ 。

$e^{3 t} \frac{d v}{d t} + e^{3 t} (3 v) = e^{3 t} \cdot 0$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 t} \frac{d v}{d t} + 3 e^{3 t} v = e^{3 t} \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $e^{3 t}$ 乘以 $0$ 。

$e^{3 t} \frac{d v}{d t} + 3 e^{3 t} v = 0$

解题步骤 2.4

将 $e^{3 t} \frac{d v}{d t} + 3 e^{3 t} v = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{3 t} \frac{d v}{d t} + 3 v e^{3 t} = 0$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} v] = 0$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} v] d t = \int 0 d t$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{3 t} v = \int 0 d t$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

$0$ 对 $t$ 的积分为 $0$ 。

$e^{3 t} v = 0 + C$

解题步骤 6.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{3 t} v = C$

解题步骤 7

将 $e^{3 t} v = C$ 中的每一项除以 $e^{3 t}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{3 t} v = C$ 中的每一项都除以 $e^{3 t}$ 。

$\frac{e^{3 t} v}{e^{3 t}} = \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{3 t} v}{e^{3 t}} = \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{C}{e^{3 t}}$

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