微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 4 x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

解题步骤 1.2

对 $4 x^{3}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$e^{4 \int x^{3} d x}$

解题步骤 1.2.2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ 重写为 $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ 。

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

解题步骤 1.2.3.2

化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{1 x^{4} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x^{4} + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x^{4}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x^{4}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x^{4}}$ 。

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

解题步骤 2.3

将 $e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 6.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 6.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2.1.4.2.2

约去公因数。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2.1.4.2.3

重写表达式。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{1}$ 。

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 6.2.3

组合 $\frac{u_{1}}{2}$ 和 $e^{{u_{1}}^{2}}$ 。

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 6.4

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.4.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 6.4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 6.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 6.5

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 6.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 6.7

化简。

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解题步骤 6.7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.8

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 6.9

化简。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.10

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.10.1

使用 ${u_{1}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

解题步骤 6.10.2

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

解题步骤 7

将 $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ 中的每一项除以 $e^{x^{4}}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x^{4}}$ 。

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x^{4}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{{(x^{2})}^{2}}$ 和 $e^{x^{4}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

从 $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ 中分解出因数 $e^{x^{4}}$ 。

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.4

用 $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.3

从 $x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 7.3.1.5

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

微积分学 示例

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