微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $2 y + \sin (y)$ 。

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

解题步骤 1.2

约去 $2 y + \sin (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(2 y + \sin (y)) d y = 6 x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 2 y + \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.4

$\sin (y)$ 对 $y$ 的积分为 $- \cos (y)$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.5.2

化简。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ 重写为 $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ 。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{2} - \cos (y) = 2 x^{3} + K$

微积分学 示例

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