微积分学示例

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

解题步骤 1

重写微分方程。

$x y' = x^{2} + y$

解题步骤 2

求 $y'$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

解题步骤 2.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 2.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 2.3.1

求微分。

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解题步骤 2.3.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 4$

解题步骤 2.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 x + 4$

解题步骤 3

代入给定的微分方程。

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

解题步骤 4.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

解题步骤 4.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

解题步骤 4.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

解题步骤 4.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

解题步骤 4.5

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

解题步骤 5

给定的解满足给定微分方程。

$y = x^{2} + 4 x$ 是 $x y' = x^{2} + y$ 的解

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