微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{3} + 3 x$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (x^{3} + 3 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{3} + 3 x d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{3} + 3 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int 3 x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int 3 x d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + 3 \int x d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + K$

微积分学 示例