微积分学示例

$x + y \frac{d y}{d x} = 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

解题步骤 1.1.2

将 $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

解题步骤 1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - x}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$y d y = (2 - x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int 2 - x d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 - x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 d x + \int - x d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int - x d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - \int x d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1.1

将 $- \frac{x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.3

重写表达式。

$y^{2} = - x^{2} + 2 (2 x) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = - x^{2} + 4 x + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

微积分学 示例

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