微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 3 y = e^{4 x}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 3$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int - 3 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{- 3 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- 3 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} e^{4 x}$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} e^{4 x}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x + 4 x}$

解题步骤 2.3.2

将 $- 3 x$ 和 $4 x$ 相加。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{x}$

解题步骤 2.4

将 $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{x}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = e^{x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = e^{x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int e^{x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{- 3 x} y = \int e^{x} d x$

解题步骤 6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{- 3 x} y = e^{x} + C$

解题步骤 7

将 $e^{- 3 x} y = e^{x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 3 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{- 3 x} y = e^{x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 3 x}$ 。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{- 3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

约去 $e^{x}$ 和 $e^{- 3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1

从 $e^{x}$ 中分解出因数 $e^{- 3 x}$ 。

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{e^{4 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.2.4

用 $e^{4 x}$ 除以 $1$ 。

$y = e^{4 x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

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