微积分学示例

$\frac{d y}{d x}$ for $y = x^{21}$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{21}}{y}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{21}}{y}$

解题步骤 2.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{21}}{y}$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{21}}{y}$

解题步骤 2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{21}}{y}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = x^{21}$

解题步骤 2.4

重写该方程。

$y d y = x^{21} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int x^{21} d x$

解题步骤 3.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{21} d x$

解题步骤 3.3

根据幂法则， $x^{21}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{22} x^{22}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{22} x^{22} + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{22} x^{22} + K$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{22}$ 和 $x^{22}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{22}}{22} + K)$

解题步骤 4.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{22} + 2 K$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

从 $22$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{2 (11)} + 2 K$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{2 \cdot 11} + 2 K$

解题步骤 4.2.2.1.3.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{x^{22}}{11} + 2 K$

解题步骤 4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K}$

解题步骤 4.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K}$ 。

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解题步骤 4.4.1

要将 $2 K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{11}{11}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K \cdot \frac{11}{11}}$

解题步骤 4.4.2

组合 $2 K$ 和 $\frac{11}{11}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + \frac{2 K \cdot 11}{11}}$

解题步骤 4.4.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22} + 2 K \cdot 11}{11}}$

解题步骤 4.4.4

将 $11$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22} + 22 K}{11}}$

解题步骤 4.4.5

将 $\sqrt{\frac{x^{22} + 22 K}{11}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 4.4.6

将 $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 4.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.7.1

将 $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 4.4.7.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

解题步骤 4.4.7.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

解题步骤 4.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

解题步骤 4.4.7.6

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 4.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.7.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.7.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{1}}$

解题步骤 4.4.7.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11}$

解题步骤 4.4.8

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{22} + 22 K) \cdot 11}}{11}$

解题步骤 4.4.9

将 $\pm \frac{\sqrt{(x^{22} + 22 K) \cdot 11}}{11}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

解题步骤 4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

解题步骤 4.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

解题步骤 4.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

解题步骤 5

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + K)}}{11}$

微积分学 示例

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