微积分学示例

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $e^{x} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3

因为 $e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e^{x}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

解题步骤 1.5

将 $0$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 2.3.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $- \frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{e^{x}}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 2.4.3

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

因为 $- 2 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $y - \frac{e^{x}}{y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $y - \frac{e^{x}}{y}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

代入 $y - \frac{e^{x}}{y}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $e^{x} + y^{2}$ 替换 $M$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

代入 $e^{x} + y^{2}$ 替换 $M$ 。

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将分数的分子和分母乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

合并。

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

将 $- \frac{e^{x}}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.4.3

重写表达式。

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.5.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.5.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.5.3.1

移动 $y$ 。

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.5.3.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.5.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.5.5

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.6

从 $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.6.1

从 $y e^{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

解题步骤 4.3.6.2

从 $y \cdot y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

解题步骤 4.3.6.3

从 $y (e^{x}) + y (y^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

解题步骤 4.3.7

约去 $- y^{2} - e^{x}$ 和 $e^{x} + y^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.7.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

解题步骤 4.3.7.2

从 $- e^{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

解题步骤 4.3.7.3

从 $- (y^{2}) - (e^{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

解题步骤 4.3.7.4

将 $- (y^{2} + e^{x})$ 重写为 $- 1 (y^{2} + e^{x})$ 。

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

解题步骤 4.3.7.5

重新排序项。

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

解题步骤 4.3.7.6

约去公因数。

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

解题步骤 4.3.7.7

重写表达式。

$\frac{- 1}{y}$

解题步骤 4.3.8

代入 $e^{x} + y^{2}$ 替换 $M$ 。

$- \frac{1}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.3

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

解题步骤 5.4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

解题步骤 6

在 $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $e^{x} + y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $e^{x} + y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

要将 $x y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.3.1

移动 $y$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.3.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.4

要将 $- 2 y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.5

组合 $- 2 y^{2}$ 和 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.6

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.7

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.7.1

移动 $y$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.7.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.5.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

解题步骤 6.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

解题步骤 6.7

乘以 $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.1

将 $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

解题步骤 6.7.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

解题步骤 6.7.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

解题步骤 6.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

解题步骤 6.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将分数分解成多个分数。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

解题步骤 8.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

解题步骤 8.3

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

解题步骤 8.3.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

解题步骤 8.3.2.3

约去公因数。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

解题步骤 8.3.2.4

重写表达式。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

解题步骤 8.3.2.5

用 $y$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

解题步骤 8.4

由于 $\frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{y}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

解题步骤 8.5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

解题步骤 8.6

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

解题步骤 8.7

化简。

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

因为 $e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{e^{x}}{y}$ 对 $y$ 的导数是 $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.4

计算 $\frac{d}{d y} [y x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.6.2

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 11.6.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.3.2.1

乘以 $- - e^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2.1.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

合并 $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.4.1

将 $- e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

将 $- x y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.5.1

从 $- x y^{2} + 2 y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.5.1.1

从 $- x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2

从 $2 y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.3

从 $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.5.2.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.2.2

用 $- x + 2 y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

解题步骤 12.1.1.6

合并 $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1.6.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

解题步骤 12.1.1.6.2

将 $\frac{d g}{d y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

解题步骤 13

求 $- 2 y$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - 2 y d y$

解题步骤 13.3

由于 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$g (y) = - 2 \int y d y$

解题步骤 13.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 13.5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.5.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 。

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.5.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.5.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.5.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2.2

约去公因数。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2.3

重写表达式。

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$g (y) = - y^{2} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$

微积分学 示例

微积分学示例