微积分学示例

$(x + 1) (y + 1) d y - x y^{2} d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $x y^{2} d x$ 。

$(x + 1) (y + 1) d y = x y^{2} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x + 1) y^{2}}$ 。

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(x + 1) y^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$\frac{1}{(x + 1) (y^{2})} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} (y + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $y + 1$ 。

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $(x + 1) y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3.3.2

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{x + 1}$ 和 $x$ 。

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y + 1}{y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (y + 1) y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.2

乘以 $(y + 1) y^{- 2}$ 。

$\int y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int y^{1} y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{1 - 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.3.1.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\int y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.3.2

将 $y^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.5

$y^{- 1}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.6

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} - y^{- 1} + C_{2} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.7

化简。

$\ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.2.8

重新排序项。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

用 $x$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 4.3.1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 4.3.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

解题步骤 4.3.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 1$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

解题步骤 4.3.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

解题步骤 4.3.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 4.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 4.3.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 4.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 4.3.5

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.5.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.5.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.5.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3.5.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.3.5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5})$

解题步骤 4.3.7

化简。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| u |) + C_{6}$

解题步骤 4.3.8

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

微积分学 示例

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