微积分学示例

$(e^{2 x} + 5) d y + y e^{2 x} d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y e^{2 x} d x$ 。

$(e^{2 x} + 5) d y = - y e^{2 x} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ 。

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $e^{2 x} + 5$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(e^{2 x} + 5) y$ 中分解出因数 $e^{2 x} + 5$ 。

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) (y)} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.3.2

从 $(e^{2 x} + 5) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.3.3

从 $y e^{2 x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y (e^{2 x})) d x$

解题步骤 3.3.4

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.3.5

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{2 x} + 5} e^{2 x} d x$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{- 1}{e^{2 x} + 5}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u_{2} = e^{2 x} + 5$ 。然后使 $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u_{2} = e^{2 x} + 5$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $e^{2 x} + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + 5]$

解题步骤 4.3.2.1.2

根据加法法则， $e^{2 x} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3.2.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3.2.1.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3.2.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3.2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3.2.1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3.2.1.3.5

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 e^{2 x} + 0$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

将 $2 e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$2 e^{2 x}$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.6

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.7

使用 $e^{2 x} + 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C$

微积分学 示例

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