微积分学示例

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

解题步骤 1.2.3

因为 $\ln (x)$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\ln (x)$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

合并项。

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解题步骤 1.4.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (1 - \ln (x))$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $1 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

解题步骤 2.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

解题步骤 2.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2.6

乘。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2.6.2

将 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $\frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

解题步骤 5.2

将 $- (1 - \ln (x)) y + C$ 重写为 $(- 1 + \ln (x)) y + C$ 。

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(- 1 + \ln (x)) y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ 。

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.3.2

根据加法法则， $- 1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.3.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.3.5

将 $0$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.3.6

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 9.1.1.1

从等式两边同时减去 $\ln (x)$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

解题步骤 9.1.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

解题步骤 9.1.1.3

合并 $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.1.3.1

从 $\frac{y}{x}$ 中减去 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

解题步骤 9.1.1.3.2

将 $\frac{d g}{d x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

解题步骤 9.1.2

在等式两边都加上 $\ln (x)$ 。

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

解题步骤 10

求 $1 + \ln (x)$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

解题步骤 10.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

解题步骤 10.4

应用常数不变法则。

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

解题步骤 10.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

解题步骤 10.6

化简。

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解题步骤 10.6.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 10.6.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 10.6.2.1

约去公因数。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 10.6.2.2

重写表达式。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

解题步骤 10.7

应用常数不变法则。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

解题步骤 10.8

化简。

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

解题步骤 10.9

化简。

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解题步骤 10.9.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

解题步骤 10.9.2

将 $\ln (x) x$ 和 $0$ 相加。

$g (x) = \ln (x) x + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

解题步骤 12

化简 $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ 。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

运用分配律。

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

解题步骤 12.1.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

解题步骤 12.2

将 $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$

微积分学 示例

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