微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 1}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2.2.1.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 2 x + 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.4

将 ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.3.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.4.2

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.3.1.4.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.2

要将 $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.3

化简项。

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解题步骤 3.1.3.3.1

组合 $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.3.2

在公分母上合并分子。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2 + C}{2}$

解题步骤 3.1.3.4

化简分子。

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解题步骤 3.1.3.4.1

乘以 $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.1.3.4.1.1

将 $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 和 $2$ 重新排序。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C}{2}$

解题步骤 3.1.3.4.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}) + C}{2}$

解题步骤 3.1.3.4.2

将 ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.3.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + C}{2}$

解题步骤 3.1.3.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + C}{2}$

解题步骤 3.1.3.4.2.2.2

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + C}{2}$

解题步骤 3.1.3.4.2.2.3

重写表达式。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

分解分数 $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$ 成为两个分数。

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$y = {(\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$y = {(\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

将 ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3.2

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C)}^{2}$

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