微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{2 + y}$ 。

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $2 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $3 (2 + y)$ 中分解出因数 $2 + y$ 。

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{2 + y} d y = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{2 + y} d y = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 2 + y$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 2 + y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $2 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $2 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 + y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{(3 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{2} = 3 - x$ 。然后使 $d u_{2} = - d x$ ，以便 $- d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{2} = 3 - x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.3

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $- 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{3 - x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 2 + y |)} = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{3}{3 - x} + C} = | 2 + y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ 。

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

解题步骤 3.3.2

化简 $e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 - x}{3 - x}$ 。

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + \frac{C (3 - x)}{3 - x}}$

解题步骤 3.3.2.2

在公分母上合并分子。

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C (3 - x)}{3 - x}}$

解题步骤 3.3.2.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.3.1

运用分配律。

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C \cdot 3 + C (- x)}{3 - x}}$

解题步骤 3.3.2.3.2

将 $3$ 移到 $C$ 的左侧。

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 \cdot C + C (- x)}{3 - x}}$

解题步骤 3.3.2.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$2 + y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

解题步骤 3.3.4

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.4.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}} - 2$

解题步骤 3.3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.2.1

分解分数 $\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}$ 成为两个分数。

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

解题步骤 3.3.4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.2.2.1

从 $3 + 3 C$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.2.1.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \pm e^{\frac{3 \cdot 1 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

解题步骤 3.3.4.2.2.1.2

从 $3 \cdot 1 + 3 C$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

解题步骤 3.3.4.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \pm e^{\frac{C}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$

微积分学 示例

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