微积分学示例

$(2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3) d x + (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2 x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 1.5

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + 0$

解题步骤 1.6

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

将 $0$ 和 $2 x y$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $2 x y + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} y + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $2 x y + 2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x y + 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x^{2} y + 2 x d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int 2 x d y$

解题步骤 5.2

由于 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $x^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int 2 x d y$

解题步骤 5.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C$

解题步骤 5.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + C$

解题步骤 5.7

重新排序项。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.3.3

因为 $\frac{y^{2}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.3.5

组合 $2$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.3.6

组合 $\frac{2 y^{2}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.3.7

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.7.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.3.7.2

用 $y^{2} x$ 除以 $1$ 。

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y^{2} x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y^{2} x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} x + 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.5

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y^{2} x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 8.6

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2} x$ 。

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x$

解题步骤 9.1.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

解题步骤 9.1.3

合并 $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.1

按照 $x y^{2}$ 和 $- y^{2} x$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + y^{2} x + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

解题步骤 9.1.3.2

从 $y^{2} x$ 中减去 $y^{2} x$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 + 0 - 2 y$

解题步骤 9.1.3.3

将 $2 x^{3} + 2 y + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 - 2 y$

解题步骤 9.1.3.4

从 $2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

解题步骤 9.1.3.5

将 $2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

解题步骤 10

求 $2 x^{3} + 3$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

解题步骤 10.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

解题步骤 10.4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

解题步骤 10.5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

解题步骤 10.6

应用常数不变法则。

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

解题步骤 10.7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

解题步骤 10.8

化简。

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

解题步骤 10.9

重新排序项。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

解题步骤 12

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{4}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

微积分学 示例

微积分学示例