微积分学示例

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + (2 m x^{2} y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x^{4} e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{4} e^{x}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2 m x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 m x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x (2 y)$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 m x y$

解题步骤 1.4

从 $0$ 中减去 $4 m x y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 m x y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 m x^{2} y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 m x^{2} y]$

解题步骤 2.2

因为 $2 m y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 m x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y (2 x)$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m y x$

解题步骤 2.4.2

重新排序 $4 m y x$ 的因式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m x y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 4 m x y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $4 m x y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 4 m x y = 4 m x y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 4 m x y = 4 m x y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 4 m x y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 4 m x y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $4 m x y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $2 m x^{2} y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $2 m x^{2} y$ 替换 $N$ 。

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{2 m x^{2} y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $- 4 m x y - 1 \cdot 4 m x y$ 中分解出因数 $m x y$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $- 4 m x y$ 中分解出因数 $m x y$ 。

$\frac{m x y (- 4) - 1 \cdot 4 m x y}{2 m x^{2} y}$

解题步骤 4.3.2.1.2

从 $- 1 \cdot 4 m x y$ 中分解出因数 $m x y$ 。

$\frac{m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

解题步骤 4.3.2.1.3

从 $m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)$ 中分解出因数 $m x y$ 。

$\frac{m x y (- 4 - 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{m x y (- 4 - 4)}{2 m x^{2} y}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $- 4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

解题步骤 4.3.3

约去 $m$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{x y \cdot - 8}{2 x^{2} y}$

解题步骤 4.3.4

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $x y \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (y \cdot - 8)}{2 x^{2} y}$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从 $2 x^{2} y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

解题步骤 4.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

解题步骤 4.3.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

约去公因数。

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

解题步骤 4.3.5.2

重写表达式。

$\frac{- 8}{2 x}$

解题步骤 4.3.6

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

解题步骤 4.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.6.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x)}$

解题步骤 4.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

解题步骤 4.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4}{x}$

解题步骤 4.3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| x |}^{- 4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

解题步骤 6

在 $(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + 2 m x^{2} y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $x^{4} e^{x}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} e^{x}) - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $- 2 m x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

解题步骤 6.3.3

从 $x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

解题步骤 6.4

约去公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $2 m x^{2} y$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 6.6

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

从 $2 m x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.3

约去公因数。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.4

重写表达式。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + m y \frac{2}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.8

组合 $m$ 和 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{m \cdot 2}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.9

组合 $y$ 和 $\frac{m \cdot 2}{x^{2}}$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y (m \cdot 2)}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.10

将 $2$ 移到 $y m$ 的左侧。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{2 y m}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{2 y m}{x^{2}} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = \frac{2 y m}{x^{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $\frac{2 m}{x^{2}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{2 m}{x^{2}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \int y d y$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $\frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{2 m}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.3

将 $2$ 乘以 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.4.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.4.2

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{m}{x^{2}} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.5

组合 $\frac{m}{x^{2}}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $m y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{m y^{2}}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$m y^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$m y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$m y^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$m y^{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$m y^{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$m y^{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$m y^{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$m y^{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$m y^{2} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.2

合并项。

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解题步骤 11.5.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$m y^{2} \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$m y^{2} (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.2.3

组合 $m$ 和 $\frac{2}{x^{3}}$ 。

$y^{2} (- \frac{m \cdot 2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.2.4

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{m \cdot 2}{x^{3}}$ 。

$- \frac{y^{2} (m \cdot 2)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.2.5

将 $2$ 移到 $m$ 的左侧。

$- \frac{y^{2} (2 \cdot m)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.2.6

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$- \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} - \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x}) - (- 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

合并 $- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1.4.1

按照 $- 2 y^{2} m$ 和 $2 m y^{2}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 y^{2} m}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

将 $- 2 y^{2} m$ 和 $2 y^{2} m$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x} + 0}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.3

将 $- x^{3} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.5.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1.5.1.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2

用 $- 1 e^{x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} - 1 e^{x} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.2

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} - e^{x} = 0$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

解题步骤 13

求 $e^{x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int e^{x} d x$

解题步骤 13.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$g (x) = e^{x} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + e^{x} + C$

微积分学 示例

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