微积分学示例

$\frac{d F}{d x} = - 5 e^{x} - 5 x$ , $F (0) = - 6$

解题步骤 1

重写该方程。

$d F = (- 5 e^{x} - 5 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d F = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} d x + \int - 5 x d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$F + C_{1} = - 5 \int e^{x} d x + \int - 5 x d x$

解题步骤 2.3.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 \int x d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$F + C_{1} = - 5 e^{x} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将负号移到分数的前面。

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$F + C_{1} = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $- 6$ 代入 $F$ ，在 $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 6 = - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$ 。

$- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$

解题步骤 4.2

化简 $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{5}{2} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 6$

解题步骤 4.2.1.2

乘以 $- \frac{5}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{5}{2}) - 5 e^{0} + K = - 6$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{5}{2}$ 。

$0 - 5 e^{0} + K = - 6$

解题步骤 4.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 6$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$0 - 5 + K = - 6$

解题步骤 4.2.2

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5 + K = - 6$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$K = - 6 + 5$

解题步骤 4.3.2

将 $- 6$ 和 $5$ 相加。

$K = - 1$

解题步骤 5

代入 $- 1$ 替换 $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 1$ 替换 $K$ 。

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} - 1$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$F = - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} - 5 e^{x} - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$F = - \frac{5 x^{2}}{2} - 5 e^{x} - 1$

微积分学 示例

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