微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{3}$ 重写为 ${(x^{3})}^{1}$ 。

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

解题步骤 1.2.3

使 $u_{1} = x^{3}$ 。然后使 $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.2.3.1

设 $u_{1} = x^{3}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

解题步骤 1.2.4

化简。

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解题步骤 1.2.4.1

化简。

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $\frac{1}{1 + u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

解题步骤 1.2.4.3

将 $3$ 移到 $1 + u_{1}$ 的左侧。

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

解题步骤 1.2.5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

解题步骤 1.2.6

化简。

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解题步骤 1.2.6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

解题步骤 1.2.6.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

解题步骤 1.2.6.2.2

重写表达式。

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

解题步骤 1.2.6.3

将 $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

解题步骤 1.2.7

使 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.2.7.1

设 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.1

对 $1 + u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

解题步骤 1.2.7.1.2

根据加法法则， $1 + u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 1.2.7.1.3

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 1.2.7.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 1.2.7.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2.7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

解题步骤 1.2.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

解题步骤 1.2.9

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 1.2.9.1

使用 $1 + u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

解题步骤 1.2.9.2

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

解题步骤 1.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$1 + x^{3}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $1 + x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $1 + x^{3}$ 。

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.3

化简分母。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.4

组合 $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ 和 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.5

将 $1 + x^{3}$ 乘以 $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.6.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.6.3

化简。

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解题步骤 2.2.6.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.6.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.7

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.7.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.8

约去 $1 - x + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.2.8.2

用 $3 x^{2} y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

解题步骤 2.3

化简分母。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

解题步骤 2.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

解题步骤 2.4

将 $1 + x^{3}$ 乘以 $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

解题步骤 2.5.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

解题步骤 2.5.3

化简。

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解题步骤 2.5.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

解题步骤 2.6

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

解题步骤 2.6.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

解题步骤 2.7

约去 $1 - x + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

解题步骤 2.7.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$(1 + x^{3}) y = x + C$

解题步骤 7

将 $(1 + x^{3}) y = x + C$ 中的每一项除以 $1 + x^{3}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $(1 + x^{3}) y = x + C$ 中的每一项都除以 $1 + x^{3}$ 。

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $1 + x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

化简分母。

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解题步骤 7.3.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

解题步骤 7.3.1.1.3

化简。

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解题步骤 7.3.1.1.3.1

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

解题步骤 7.3.1.1.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

解题步骤 7.3.1.2

化简分母。

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解题步骤 7.3.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

解题步骤 7.3.1.2.3

化简。

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解题步骤 7.3.1.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

解题步骤 7.3.1.2.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

微积分学 示例

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