微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \arctan (x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $\frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \arctan (x)$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \arctan (x)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (x)}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$x$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \arctan (x)$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \arctan (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = x \arctan (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \arctan (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$x y = \int x \arctan (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arctan (x)$ ， $d v = x$ 。

$x y = \arctan (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$x y = \arctan (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7.2.2

组合 $\arctan (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 7.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7.5

用 $x^{2}$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 7.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 7.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 7.5.3

将新的商式项乘以除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

解题步骤 7.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 1$ 中的所有符号

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

解题步骤 7.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

解题步骤 7.5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7.6

将单个积分拆分为多个积分。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 7.7

应用常数不变法则。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 7.8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 7.9

化简表达式。

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解题步骤 7.9.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

解题步骤 7.9.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

解题步骤 7.10

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

解题步骤 7.11

化简。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} + C$

解题步骤 7.12

重新排序项。

$x y = \frac{1}{2} \arctan (x) x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \arctan (x) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

解题步骤 8.1.2

去掉圆括号。

$x y = \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

解题步骤 8.2

将 $x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1

从 $\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)}{1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2.5

用 $\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x) + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.2

乘以 $\frac{1}{2} (\arctan (x) x)$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.2.1

组合 $\arctan (x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{\arctan (x)}{2} x + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.2.2

组合 $\frac{\arctan (x)}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.4.1

将 $- \frac{x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.4.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.4.3

约去公因数。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.4.4

重写表达式。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (x)$ 。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{\arctan (x)}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.7

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.1.8

将 $\frac{\arctan (x)}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $\frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{x \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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