微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{6} e^{x^{7}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x^{6} e^{x^{7}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{6} e^{x^{7}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{6} e^{x^{7}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = e^{x^{7}}$ 。然后使 $d u_{2} = 7 x^{6} e^{x^{7}} d x$ ，以便 $\frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{x^{7}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = e^{x^{7}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $e^{x^{7}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{7}}]$

解题步骤 2.3.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{7}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{7}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{7}]$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

解题步骤 2.3.1.1.2.3

使用 $x^{7}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{7}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$e^{x^{7}} (7 x^{6})$

解题步骤 2.3.1.1.4

化简。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

重新排序 $e^{x^{7}} (7 x^{6})$ 的因式。

$7 e^{x^{7}} x^{6}$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $7 e^{x^{7}} x^{6}$ 中的因式重新排序。

$7 x^{6} e^{x^{7}}$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{7} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{1}{7} u_{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $e^{x^{7}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{7} e^{x^{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{7} e^{x^{7}} + K$

微积分学 示例

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