微积分学示例

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $8$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 重写为 $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 。

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 3 x + 2$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 3 x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $3 x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $3$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.5.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $12$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.2

约去公因数。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.3

重写表达式。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $4 (- u^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3

将负号移到分数的前面。

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $3 x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

在公分母上合并分子。

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

解题步骤 3.1.3.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ 。

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.3

在公分母上合并分子。

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.4

化简分子。

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解题步骤 3.1.3.4.1

运用分配律。

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.4.3

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.5.2

从 $3 K x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.5.3

从 $- 1 (4) - (- 3 K x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.5.4

从 $2 K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.5.5

从 $- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.5.6

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

解题步骤 3.1.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 3.1.3.7

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ 。

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ 重写为 ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $4 - 3 K x - 2 K$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $4 (3 x + 2)$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

解题步骤 3.3.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ 。

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 1$ 和 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

解题步骤 3.3.1.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

解题步骤 3.3.1.6

添加圆括号。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

解题步骤 3.3.2

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

解题步骤 3.3.3

一的任意次幂都为一。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

解题步骤 3.3.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

微积分学 示例

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