微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{2}$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

$y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{3} x^{3} + K$ 中求 $K$ 的值。

$1 = \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 1$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 0 + K = 1$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$0 + K = 1$

$0 + K = 1$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 1$

$K = 1$

$K = 1$

解题步骤 5

代入 $1$ 替换 $y = \frac{1}{3} x^{3} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $1$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{3} x^{3} + 1$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{3} + 1$

$y = \frac{x^{3}}{3} + 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$