微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.6

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.7

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

解题步骤 2.3.8

化简。

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

解题步骤 2.3.9

重新排序项。

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ 。

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

解题步骤 4.2

化简 $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

解题步骤 4.2.1.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

解题步骤 4.2.1.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

解题步骤 4.2.1.5

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

解题步骤 4.2.1.6

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

解题步骤 4.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 1 - 3$ 和 $0$ 相加。

$- 1 - 3 + C = 0$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$- 4 + C = 0$

解题步骤 4.3

在等式两边都加上 $4$ 。

$C = 4$

解题步骤 5

代入 $4$ 替换 $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $4$ 替换 $C$ 。

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $8 \ln (| x |)$ 。

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

解题步骤 5.2.2

去掉 ${| x |}^{8}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$

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